De naturlige tal - N

Mængden N (1,2,3,4, ..., n, n+1, ...) er uendelig. Det vil sige, at på et vilkårligt Nn, kan man altid lægge 1 til og har derved endnu et tal. En talmængde uden grænser så at sige. Det er dog her vigtigt at forstå, at mængden kun er uendelig, så længe vi lader den fortsætte. Vi vil aldrig nå til et bestemt punkt og sige; så, nu nåede vi det endelig. Da vil det nemlig være endeligt. Det at mængden er uendelig, er ikke ensbetydende med, at den ikke er tællelig. Det vil ganske vist være praktisk umuligt for noget menneske at sætte sig ned med sin blyant og krydse samtlige tal i mængden N af, men det skyldes kun omstændigheder, som at han ikke også har uendeligt eller ubegrænset tid – eller at der blot var uendeligt mange til at tælle. Man siger også, at den uendelige mængde N, har tællelig kardinalitet – hvor kardinalitet er mængden af elementer. Enhver mængde har derfor en kardinalitet (størrelse). Samlingen af 10 fingre kardinaliteten 10.

Lægger man de 10 tæer til, er kardinaliteten af den samlede mængde 20. Hvis mængden af to relationer kan parres, altså hvis der for enhver Pn svarer én og kun én Tn, og for enhver Tn ligeledes svarer én og kun én Pn, siger man, at de har samme kardinaltal. At undersøge om der findes én og kun én Pn til hver Tn og omvendt, kaldes for en bijektiv afbildning.

Lad os nu kigge på mængderne Nlige \left\{ {2,\;\;4,\;\;6,\;\;...} \right\}  og Nulige \left\{ {1,\;\;3,\;\;5,\;\;...} \right\}. Når man betragter disse to mængder, vil det umiddelbart se ud til, at disse har samme kardinaltal (altså “lige mange” tal). Ud fra en tanke om, at begge mængder indeholder halvdelen af N, giver dette også god mening.