Heltal - Z

De naturlige tal, er alle tal over 0. Med heltal introduceret også alle hele tal under nul. Nemlig mængden: z = \left\{ {...\; - 2,\; - 1,\;\;0,\;\;1,\;\;2,\;...} \right\}. Denne mængde kaldes heltal. Man kan undre sig over hvilken mængde, der har størst kardinalitet, N eller Z. Vi har tidligere fundet ud af, at halvdelen af N, altså Nlige eller Nulige, har samme kardinaltal som N. Z ser umiddelbart ud til at være dobbelt så stor, lang, eller mægtig som N, men gælder det nu også?

Umiddelbart ser det kompliceret ud, for da vi før kendte ”starten” eller ”første tal”, er vi nu nødt til at gå uendeligt langt tilbage for at finde det, og selv dér vil vi ikke kunne begynde at tælle, for så har vi sat en nedre grænse. Det samme problem opstår, hvis man prøver at tælle fra den anden ende af rækken. Det vil sige, at vi er nødt til at opstille en anden metode til at tælle Z, så vi kan lave en bijektiv afbildning af N  Z.

Det vi gør er, at vi starter med tallet 0. Herefter vælger vi første tal til højre, første tal til venstre, andet tal til højre, andet tal til venstre osv. På den måde ville vi, hvis vi havde uendeligt meget tid, kunne sikre os at tælle alle tallene. Herunder er det illustreret hvordan den bijektive afbilding laves.


Hvis vi forestiller os, at vi bruger de naturlige tal N til at tælle heltallene Z, ser vi, at der for hver Z svarer én og kun én N - og for hver N svarer én og kun én Z. Der er altså lige så mange tal i mængden N som i mængden Z - selvom Z umiddelbart ser større ud.